La forma factorizada del trinomio cuadrado perfecto a2 + 2ab + b2 es (a+b)2 .
Al darle la vuelta, decimos
que la forma desarrollada de (a+b)2 es a2 + 2ab + b2. Y, si (a+b)2 se multiplica
por a+b, obtenemos el desarrollo de (a+b)3 . He aquí una lista de los desarrollos
de la primeras cinco potencias del binomio a+b.
(a+b)1 = a + b (a+b)2 = a2 + 2ab
+ b2 (a+b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 +b3
(a+b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
(a+b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 +5a2 b3 + b5
El objetivo en esta sección consiste en aprender a encontrar directamente estos
desarrollos sin tener que multiplicar. Es decir: deseamos ser capaces de desarrolla
(a + b)n, en especial para valores más grandes de n, sin necesidad de multiplicar
repetidamente a + b por sí mismo.
Representemos con n un entero positivo. Como se pudo dar cuenta en los casos mencionados
anteriormente, cada desarrollo comienza con an y termina con b5 . Además, cada
desarrollo mencionado tiene n+1 términos, todos ellos precedidos por signos positivos.
Ahora, veamos que el caso n=5 . Reemplacemos el primer término a5, por a5 b0,
y usemos a0 b5. En estas condiciones,
(a+b)5 = a5 b0 + 5a4 b + 10a3 b2 +10a2 b3 + 5a4 b + a0 b5
En esta forma, se aclara que (de izquierda a derecha) los exponentes de a disminuyen
sucesivamente de 1 en 1, empezando con 5 para terminar con cero. Al mismo tiempo,
los exponentes de b aumentan de cero hasta 5. A demás note usted que la suma de
los exponentes de cada término es 5. Verifique que unas normas semejantes se cumplen
también en los demás casos mostrados.
Aprovechando las observaciones anteriores, debemos esperar que el desarrollo de
(a+b)6 tenga siete términos que, salvo por los coeficientes, desconocidos aún,
deben quedar así: a6 + __ a5 b +__
a3 b3 + __ a2 b4 +__a1 b5 +__a b + b6
Nuestra lista de desarrollos revela que el segundo coeficiente, igual que el coeficiente
del penúltimo término, es el número n. Colocar estos coeficientes, para el caso
n=6, nos da: a6 + 6 a5 b +__ a3 b3
+ __ a2 b4 +__a1 b5 +_6a b + b6
Para obtener los demás coeficientes, volvemos al caso de n=5 y averiguamos cómo
se pueden generar esos coeficientes. Observamos el segundo y tercer términos.
2° término { 5a4 b 3er ´término
{ 10a3 b2 Si el 4, exponente de a
es el segundo término, se multiplica por 5, el coeficiente del propio segundo
término, y luego se divide entre 2, el exponente de b en el tercer término, el
resultado es 10, el coeficiente del tercer término.
exponente de a coeficiente del en el 2° término 2°
término coeficiente del tercer termino =
4(5) = 10 2 exponente de b en el tercer
término Con base en estos datos, esperamos que sea
posible obtener de la misma manera los coeficientes desconocidos en el caso de
n=6. Aun están los cómputos: Usamos
6 a5 b +__ a4 b2 3er coeficiente =
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