Eventos independientes: dos eventos A y B son independientes sisé la ocurrencia o no ocurrencia afecta la probabilidad asignada a la ocurrencia del otro.

Algunas veces es sencillo determinar la independencia por ejemplo los dos eventos considerados se refieren a ensayos no relacionados tales como el lanzamiento de dos monedas de diferente denominación en consecuencia los resultados con ambas monedas son independientes. La falta de independencia o sea la dependencia es demostrada por la siguiente ilustración considérese el experimento donde se lanzan dos dados y se observa los dos eventos la suma es igual a 10 y número doble que se establece P(10)=3/36=1/12, P(doble)=6/36=1/6 ¿la ocurrencia de 10 afecta la probabilidad de doble? Considérese esta pregunta de la manera siguiente: a ocurrido una suma igual a 10 debe de ser uno de los resultados siguientes [(4,6),(5,5),(6,4)] una de estas tres posibilidades es número doble.

En consecuencia debe concluirse que "P" (doble sabiendo que ha ocurrido un diez), escrita

P(doble/10), es igual a 1/3 ya que un tercio es distinta a la probabilidad de un doble puede concluirse que el evento 10 afecta la probabilidad de un número doble así un doble y 10 son eventos dependientes. El símbolo P(A/B)=P(B/A)=PB.

Considérese la probabilidad condicional. Tómese, por ejemplo, el experimento donde se lanza un dado: S=[1,2,3,4,5,6] en este experimento pueden definirse dos eventos como A ="ocurre un 4", y B="ocurre un número par". Entonces P(A)=1/6, el evento A se satisface

exactamente por uno de los seis muéstrales igualmente probables en S. La probabilidad condicional de A dado B, P(A/B), se encuentra de manera similar, pero S ya no es este caso el espacio muestral. Esto puede verse de la manera siguiente: se lanza un dado sin que se pueda ver, aunque recibe la información de que el número obtenido sea par, es decir que ha ocurrido el evento B. Esta es la condición dada, conociéndola a uno se la pide asignar la probabilidad del evento "ocurre un 4". Sólo haqy tres posibilidades en el nuevo espacio muestral (reducido), [2,4,6]. Cada uno de los tres resultados es igualmente probable: en consecuencia P(A B)=1/3.

Esto puede escribirse como:

P(A/B) = P(A y B) / P(B)

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

.- Regla de la multiplicación CASO GENERAL

Sean A y B dos eventos definidos en el espacio muestral S. Entonces :

P(A y B)=P(A).P(B/A)

o bien

P(A y B)=P(B).P(A/B)

Si los eventos A y B son independientes, el caso general de la regla de la multiplicación (la fórmula anterior).

.- Regla de la multiplicación CASO ESPECIAL

Sean A y B dos eventos definidos en el espacio muestral S. Si A y B son eventos independientes entonces:

P(A y B)=P(A).P(B)

Esta fórmula puede ser generalizada. Si A,B,C;...;g son eventos independientes, entonces:

P(A y B y C y ... y G)=P(A).P(B).P(C)...P(G=

TRATAMIENTO DE LA PROBABILIDAD CONDICONAL E INDEPENDENCIA DE EVENTOS

EJEMPLO: En un grupo de 200 estudiantes se selecciona uno de ellos en forma aleatoria. Se sabe que en el grupo hay 140 estudiantes dde tiempo completo (80 mujeres y 60 hombres), y 60 de tiempo parcial (40 mujeres y 20 hombres) el evento A es "la persona seleccionada es estudiante de tiempo completo " y el evento C es "el estudiante selecciona-

do es mujer".

EL USO DE DIAGRAMAS DE ARBOL PARA EL CALCULO DE LA PROBABILIDAD

Muchos problemas sobre probabilidades se pueden representar con diagramas de árbol. En tales casos se pueden utilizar con facilidad las reglas de la multiplicación y la adición para ilustrar la solución de problemas sobre probabilidades.

Se ha extraído dos fichas de pocker de una caja que contiene una ficha roja, otra blanca y otra verde. El diagrama de árbol que representa este experimento en la primera figura muestra la segundad y la primera selección. En cada extracción se selecciona una ficha y no se reemplaza.

Después de que se ha dibujado e identificado el árbol, es necesario que se asigne probabilidades a cada rama. Si se supone que es igualmente probable que se extraiga cualquier ficha en cualquier selección, es posible asignar una probabilidad a cada segmento de cada rama de árbol como se muestra en la segunda figura. Nótese que un conjunto de ramas que nacen de un punto común tiene una probabilidad total igual a uno. En este diagrama en particular hay cuatro de tales conjuntos de segmentos de famas. El diagrama de árbol muestra seis resultados distintos. Leyendo hacia abajo la rama indica el resultado (R,B);la dos (2), (R,V); etc. Cada resultado el esta representado por una rama que nace en un punto inicial común y termina en los puntos extremos de la derecha.

La probabilidad asociada con el resultado (R,B) P(ficha roja en la primera extracción y blanca en la segunda), se encuentra multiplicando P(R en la primera selección)*P(B en la segunda selección R en la primera). Estas son las dos probabilidades 1/3 y ½ indicadas en los dos segmentos de la rama uno en la figura dos. El ½ es la probabilidad condicional requerida por la regla de la multiplicación. En consecuencia debe n}multiplicarse a loa largo de las ramas.

 Algunos eventos están constituidos por mas de un resultado del experimento. Por ejemplo supóngase que se ha pedido la probabilidad de que sean seleccionadas una ficha roja y otra blanca. Se observa que hay dos resultados que satisfacen dos eventos, la rama uno y la tres con "o" se utiliza la regla de la adición . puesto que las ramas de un diagrama representan eventos mutuamente excluyentes, se tiene que :

P(R y una B)= SRC="Image1.gif" WIDTH=221 HEIGHT=45>

EVENTOS INDEPENDIENTES

Suponemos que se sabe que la probabilidad de A dada la de B es igual a la probabilidad de A. ¿Qué se podría concluir respecto a los eventos de A y B? ¿El hecho de saber que el evento b a ocurrido, afecta de algún modo la probabilidad de A?. La situación anterior conduce a la necesidad de definir otro tipo de eventos: Si A y B son eventos independientes, entonces P (A B)= P(A).

• Definición: A y B son eventos independientes si y solo sí
• Teorema 1: si A y B son eventos independientes SRC="Image2.gif" WIDTH=60 HEIGHT=21>y SRC="Image3.gif" WIDTH=60 HEIGHT=21>

, entonces

Nótese que la definición de eventos independientes se aplica a todos los eventos sean o no sus probabilidades iguales a cero. No sería así si hubiéramos ocupado el teorema 1 para la definición de eventos independientes.

Si escoge una familia del conjunto de todas las que tiene 2 niños ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones si se sabe que por lo menos que hay un varón en esa familia. Sea S={(m,m),-(m,f).(f,m),(f,f)} el espacio muestra, donde la primera letra de cualquier pareja ordenada indica el sexo del primogénito y la segunda el sexo del segundo.

Supondremos que los cuatro puntos son igualmente probables (esta suposición no es correcta para determinadas razones pero es aceptable).

Ahora bien, si se sabe que por lo menos uno de los hijos es varón ¿Cuál es el nuevo espacio muestral? De los tres punto de ese espacio ¿ Cuántos representan familias en las que ambos hijos son varones?. Entonces la probabilidad requerida es 1/3.

Demostración: de la teoría de conjuntos sabemos que SRC="Image4.gif" WIDTH=97 HEIGHT=21>(verifique esto con un diagrama de Venn). Del teorema anterior, tenemos SRC="Image5.gif" WIDTH=105 HEIGHT=25>. Por tanto,

SRC="Image6.gif" WIDTH=141 HEIGHT=25>

SRC="Image7.gif" WIDTH=204 HEIGHT=120>

Así, SRC="Image8.gif" WIDTH=16 HEIGHT=21>y SRC="Image9.gif" WIDTH=16 HEIGHT=19>son eventos independientes.

TEOREMA DE BAYES

Si sé sabe que una urna amarilla se contiene tres bolas negras una blanca, y que una urna roja contiene dos bolas blancas y dos negras. Se tira un dado con la condición de que sí el número resultante es divisible por tres, se elige la urna amarilla; y en cualquier otro caso se elige la urna roja.

De la urna elegida se saca una bola al azar. Si la bola es negra, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido sacada de la urna amarilla?. Un diagrama de árbol nos puede ayudar a la solución de este problema.

La probabilidad de escoger la urna amarilla es 1/3 y la probabilidad de sacar una bola negra, considerando que se escogió la urna amarilla, es ¾ .

Por tanto, la probabilidad de escoger una bola negra de la urna amarilla es 1/3 ( ¾)=1/4.

De modo semejante, se pude ver que la probabilidad de sacar una bola blanca de la urna amarilla es 1/12, la probabilidad de sacar una bola negra de la urna roja es 1/3, y la probabilidad de sacar una bola blanca de la urna roja es 1/3.¿suman 1, las cuatro probabilidades?.