Ciertas condiciones de la distribución binomial se aproxima
la distribución normal y a la distribución de poisson. En
los siguientes ejemplos explicaremos la relación entre las distribuciones normal
y binomial y demostraremos heurísticamente que la distribución binomial se parece
a la distribución normal cuando n es muy grande. Tomando
en cuenta que cuando el tamaño de la muestra aumenta, la diferencia entre la distribución
binomial y la aproximación normal disminuye, y el efecto de la corrección por
continuidad también disminuye. 1. Sea n = 100 el tamaño
de la muestra y 50 el número de Demócratas. La proporción de la población sigue
siendo =0.40. Así con el uso de la corrección por continuidad, obtenemos De
este modo, la probabilidad de elegir una muestra aleatoria de n = 100 con 50 demócratas
o más, es, según la tabla normal de áreas 0.0262 = 2.62 por ciento.
Sin la corrección por continuidad, tenemos
Así la probabilidad es 0.0207 = 2.07 por ciento. Hallemos,
a continuación la probabilidad utilizando las tablas de Romig: Resumiendo
estos resultados tenemos: 1. Empleando la tabla de
probabilidad binomial = 2.71% 2. Empleando la distribución
normal con la corrección por continuidad = 2.62% 3.
Empleando la aproximación normal sin la corrección por continuidad = 2.07% De
este modo, la diferencia absoluta entre las diferentes probabilidades a disminuido,
y, para las aplicaciones prácticas, la aproximación normal sin corrección por
continuidad será suficiente. 2. Consideremos una
urna con 10 bolillas, tres de las cuales son rojas. Tomemos una muestra de 500
bolillas con reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 145 o más, o 155
o menos, bolillas rojas? La probabilidad se expresara
en símbolos como Así pues, la variable normalizada
será En este caso podemos ignorar la corrección por
continuidad. Entonces, P1 = - 0.5 Puesto que la situación es simétrica, P2 = +0.5.
De este modo, según la tabla normal, obtenemos Es
decir, hay aproximadamente 38.3 casos favorables en 100 de elegir una muestra
aleatoria de 500 bolillas de las cuales 145 ó más, o 155, o menos sean rojas cuando
la proporción es = 0.3. Obsérvese que para P*2, la
corrección por continuidad es +1/2 (y no -1/2), aunque no lo hayamos considerado
en nuestros calculos.
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