A menudo nos interesa solo el número total de éxitos obtenidos en una sucesión de n ensayos de Bernoulli, al margen del orden en que se presenten. El número de éxitos puede ser 0, 1,... n, y nuestro primer problema consiste en determinar las probabilidades correspondientes. Ahora bien, el evento "n ensayos resultan en k éxitos y n-k fracasos" puede ocurrir del mismo número de maneras en que se distribuyen k letras E en n lugares.

TEOREMA:

Sea b(k; n, p) la probabilidad de que al realizar n ensayos de Bernoulli con probabilidades p de éxito y q=1-p de fracaso , se logren k éxitos y n-k fracasos . Entonces,

n

b(k; n, p) = k pk qn-k

En particular, la probabilidad no tener ningún éxito es qn, y la probabilidad de tener por lo menos un éxito es 1-qn.

Tratamos a p como constante y denotaremos el número de éxitos en n ensayos por Sn ;entonces, b(k; n, p)=P lSn = k . En la terminología general Sn es variable aleatoria , y la función es la de esta variable aleatoria; nos referimos a ella como distribución binomial. El atributo "binomial" se refiere al hecho de que representa el k- èsimo término del desarrollo binomial de (q + p). Esta observación también nos hace ver que:

b (0; n, p) + b(1; n, p) +....+ b(n; n, p) = (q + p) = 1
como se requiere. La distribución ya ha sido tabulada.

Ejemplos :

Un problema de suministro de energía

Supongamos que n =10 trabajadores van a usar intermitentemente energía eléctrica y que nos interesa estimar la carga total con que se debe operar. En aproximación burda, imaginaremos que, en un instante dado, cada trabajador dado, tiene la misma probabilidad p de requerir una unidad de energía. Si trabajan en forma independiente, la probabilidad de que exactamente k trabajadores requieran energía al mismo tiempo deberá de ser b(k; n, p).

Si , en promedio, un trabajador usa la energía durante 12 minutos por hora, pondremos p= 1/5 . La probabilidad de que siete o más trabajadores requieran corriente al mismo tiempo es, entonces, b(7; 10, 0.2) + ....+ b(10; 10, 0.2)= 0.0008643584. En otras palabras, si el suministro se ajusta a seis unidades de energía, una sobre carga tiene una probabilidad de 0.00086. . . , y debe esperarse uno de cada 1157 minutos, esto es, alrededor de un minuto dentro de cada veinte horas. La probabilidad de que ocho o más trabajadores busquen corriente al mismo tiempo es de solamente 0.0000779264 o cerca de once veces menos.

Pruebas de sueros o vacunas

Supongamos que la tasa normal de infección de una enfermedad de ganado es de 25%. Para probar un nuevo suero, lo inyectan a n animales saludables. ¿Cómo vamos a evaluar los resultados del experimento?. Si el suero fuera absolutamente inútil, la probabilidad de que exactamente k de los animales probados no adquieran la infección sería igual a b(k ; n, 0.75). Para k = n= 10, esta probabilidad es aproximadamente de 0.056 y para k = n = 12, solamente de 0.032.de diez o doce animales en prueba ninguno pesca la infección, se puede considerar que el suero ha surtido efecto, aunque no sea una prueba concluyente. Nótese que, sin suero, la probabilidad de que no más de uno entre 17 animales contraiga la infección se acerca a 0.0501.Entonces, se tiene una prueba más fuerte a favor del suero si solo uno de 17 animales probados pesca la infección, que si diez probados, todos permanecen saludables. Para n = 23, la probabilidad de que no más de dos animales contraigan la infección se aproxima a 0..0492 y, entonces, dos fracasos en 23 pruebas, da nuevamente más apoyo que un fracaso en17 pruebas , o ninguno en diez.

LA DISTRIBUCION DE POISSON

Las probabilidades de Poisson aparecen como aproximación conveniente a la distribución binomial en relación en el caso en que n es grande y p pequeña. Hemos estudiado distribuciones de Poisson p(k; ). Tenemos aquí un caso especial del hecho notable de que existen unas cuantas distribuciones de gran universalidad que se presentan en una inmensa diversidad de problemas. Las tres distribuciones principales, con ramificaciones en toda la teoría de probabilidades, son la binomial, la normal y la de Poisson.

Nótese que al sumar las cantidades para k= 0, 1, 2, . . . , en el miembro derecho se obtiene e por la serie de Taylor de e . Por consiguiente, para cualquier fija , las cantidades p(k; ) suman la unidad, por lo que es posible concebir un experimento ideal en el cual p(k; ) sea la probabilidad de tener exactamente k éxitos. La naturaleza verdadera de la distribución de Poisson se vuelve evidente solamente cuando se relaciona con la teoría de los procesos estocásticos.

Consideremos una sucesión de eventos aleatorios que ocurren en el tiempo, como son las desintegraciones radiactivas o las llamadas que llegan a una central telefónica. Se representa cada evento por un punto en eje del tiempo, y nos interesamos en las distribuciones aleatorias de esos puntos. Existen muchos tipos diferentes de distribuciones pero su estudio pertenece al dominio de las distribuciones continuas.

Nos limitaremos a demostrar que las suposiciones más simples de la física se comportan de acuerdo con p(k; ), como en la probabilidad de encontrar k puntos ( eventos ) dentro de un intervalo fijo de longitud específica. Los métodos que usaremos son necesariamente rudimentarios, por lo que volveremos a tratar el mismo problema con métodos más adecuados.

Las suposiciones físicas que queremos expresar en forma matemática se refieren a que las condiciones experimentales permanecen constantes en el tiempo, y que los intervalos de tiempo no traslapados son estocásticamente independientes, en el sentido de que la información concerniente al número de eventos en un intervalo no revela nada acerca del otro . La teoría de las probabilidades continuas hace posible que estos postulados se expresen directamente, pero al restringirnos a probabilidades discretas tenemos que utilizar un modelo finito aproximado y, a continuación, el límite.

Distribuciones espaciales

Hemos considerado la distribución de eventos aleatorios o puntos a lo largo del eje t, pero el mismo argumento se aplica a la distribución de puntos en el plano o en le espacio. En lugar de intervalos de longitud t, tenemos dominios de área o volumen t, y la suposición fundamental es que la probabilidad de encontrar k puntos en cualquier dominio específico depende solamente del área o del volumen del dominio, aunque no de su forma.

Por otra parte, tenemos las mismas suposiciones de antes:

1. Si t es pequeño, la probabilidad de encontrar más de un punto en un dominio de volumen t es pequeña comparada con t.
2. Los dominios no se traslapan son independientes unos de otros

Para encontrar la probabilidad de que un dominio de volumen t contenga exactamente k puntos aleatorios, lo subdividimos en n subdominios y aproximamos la probabilidad requerida mediante la probabilidad de k éxitos en n ensayos.

Ejemplos:

Llamadas a un número equivocado

Se observó un número total de llamadas de N= 267 números que recibieron exactamente k comunicaciones equivocadas. La distribución de Poisson p(k; 8.74) nos muestra nuevamente un excelente ajuste. A veces hay una interdependencia obvia entre los eventos, y entonces, la distribución de Poisson no se ajusta.

Intercambio de cromosomas en las células

La irradiación de los rayos X produce determinados procesos en la células orgánicas que llamamos intercambio de cromosomas. Mientras la radiación continúe, la probabilidad de esos intercambios permanece constante y, de acuerdo con la teoría, los números N de células con un número exacto de k de intercambios siguen una distribución de Poisson.

La teoría ha podido también predecir la independencia del parámetro de la intensidad de la radiación, la temperatura, etc., de once series diferentes de experimentos.