ÁBACO
EL ÁBACO MÁGICO
Cuadrado dividido en casillas, también cuadradas, en el cual se colocan números correspondientes a una progresión regular, dispuestos de tal manera, que, tomados en sentido vertical, horizontal o diagonal, den la misma suma o el mismo producto, o la misma serie armónica, según que la progresión a que los números correspondan sea aritmética, geométrica o armónica.
Combinaciones de esta clase eran muy conocidas desde los primitivos tiempos por los Indios, los Egipcios y los Chinos; porque entre ellos, lo mismo que entre los Europeos de la Edad media, se hallaba arraigada la creencia de que los talismanes que tenían esculpidos semejantes cuadrados poseían cualidades astrológicas y divinatorias de portentosas virtudes. Manuel Moscópulo, de Constantinopla, escribió una obra en griego a mediados del siglo xv sobre tan extraordinarias virtudes (hay quienes atribuyen la obra a otro Moscópulo, cretense, que vivía a mediados del siglo xiii). Un cuadrado con el número 1 en su interior, era el símbolo de Dios, a causa de su unidad y de su 1 inmutabilidad; y la razón consistía en que 1 x 1 =1. Un cuadrado con un 2 dentro, representaba la imperfección de la materia, por ser imposible arreglar mágicamente una serie de 4 términos. El cuadrado dividido en 9 casillas estaba consagrado a Saturno, y simbolizaba todas sus influencias: el de 16, a Júpiter: el de 25, a Marte: el de 36, al Sol: el de 49, a Venus: el de 64, a Mercurio: y, en fin, a la Luna, el de 81 casillas. Modernamente, las propiedades de los ábacos mágicos han sido objeto del estudio de grandes inteligencias: entre otros, han escrito sobre el asunto Leibnitz, Freniele, Bachet, La Hire, Saurin, y varios más, citados por Montucla en su Historia de las Matemáticas, en el Diccionario de Hutton, en las Recreaciones Matemáticas del mismo autor, en la Enciclopedia metódica, y en otras obras.
Tómese de una progresión aritmética cualquiera una serie de términos tal, que su conjunto sea un cuadrado (por ejemplo, nueve términos, diez y seis términos, etc.). Al efecto, pueden servir los 16 primeros grados de la escala de la pluralidad. Si los escribimos en dos líneas:
1 2 3 4 5 6 7 8
16 15 14 13 12 11 10 9
La suma vertical de cada dos números correspondientes da 17, por la conocida propiedad de las series aritméticas, de que cada dos términos equidistantes de los extremos suman lo mismo que los extremos. Si los escribimos en cuatro líneas formando un cuadrado, las diagonales 1, 6, 11, 16, y 4, 7, 10, 13, sumarán 2 x 17 = 34, por constar cada una de dos pares de números correspondientes: 1+16 y 6+11; 4+13 y 7+10. Evidentemente, ninguno de los números de las diagonales se halla en más de una hilera ni en más de una columna pero, sin estar en diagonal, muchos otros números del cuadrado pueden llenar esta condición: por ejemplo, 5, 2, 15, 12. Ahora bien, siempre que del cuadrado se escojan cuatro términos, de tal modo, que de cada hilera y de cada columna no salga más que un solo término, la suma de los cuatro será también 2 veces 17. Si en lugar de los términos 1+6+11+16=34 de una diagonal, tomamos los términos 1+10+7+16, muy fácilmente se notará que también han de sumar 34; porque el segundo término 10 es mayor en 4 unidades que su correspondiente de la diagonal, y el tercer término 7, cuatro unidades menor que su correspondiente 11. Lo mismo es fácil de hacer ver de cualesquiera otros cuatro números del cuadrado; de manera que siempre suman 34 cuatro términos cualesquiera del anterior ábaco, como no pertenezcan más que a una sola hilera y a una sola columna.
Por supuesto, que para que haya cuadrado mágico no es necesario que la progresión empiece por 1, ni tampoco que la razón aritmética sea 1. Los términos 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, que no empiezan por 1, y cuya razón aritmética es 2; y los 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, cuya razón es 3, forman ábacos mágicos.
El número de los ábacos mágicos es mucho mayor de lo que a primera vista pudiera imaginarse. El cuadrado de los 16 primeros grados de la escala de la pluralidad puede dar lugar a 24 combinaciones. Estas 24 combinaciones forman un cuadrado en que ningún número esté repetido; si bien sería una casualidad que las cuatro hileras escogidas así ad libitum y sin sujeción a regla ninguna diesen un cuadrado mágico. Conservándose invariable la primera columna, de la anterior combinación, se ve que ésta puede escribirse de cuatro modos.
Conservándose invariable la segunda columna, la tercera, la cuarta, tendríamos nuevos modos análogos, etc. En fin, el cálculo de las combinaciones demuestra que el número de los cuadrados posibles en que ningún número se repite pasa de 191 millones (191 102 976), y que el modo de formar hileras que sumen 34 es todavía mucho mayor; de suerte, que sería verdaderamente cosa de magia que en tan enorme multitud de cuadrados no se encontrasen muchos que reuniesen las condiciones de los anteriores ábacos mágicos, de sumar 34 en sentido horizontal, vertical y diagonal. Frenicle ha encontrado 880 métodos de formarlos. Falta aun un método general, pues las reglas matemáticas encontradas son diferentes, según que la raíz del cuadrado es impar o par; y, siendo par, hay que distinguir si la raíz es imparmente par o parmente par. Es raíz parmente par la que dividida por 2 da un número par; como 4, 8 y 12; y es imparmente par la raíz par que dividida por 2 da un número impar; como 6, 10, etc.
La serie de los 25 primeros grados de la escala de la pluralidad da mágicamente cuadrados mágicos que suman 65.
La serie de los 36 primeros números da 111.
Hay cuadrados mágicos que todavía continúan siendo mágicos cuando se les quita una banda entera alrededor. Los hay también que, divididos en cuadrados iguales, son, no sólo mágicos en su totalidad, sino en sus subdivisiones.
Al libro de Hutton titulado Recreaciones matemáticas, puede acudir quien desee conocer más a fondo las propiedades numéricas y las reglas de los ábacos mágicos.
